Teorema formula del gradiente di Andrea Carpi

Teorema formula del gradiente

Dimostrazione del teorema formula del gradiente in R2.

di Andrea Carpi

Enunciato

$f: D \subseteq \mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}, (x_0, y_0) \in \mathring{D}$ ; sia

$f$ differenziabile in

$(x_0,y_0)$ e

$\underline{v}$ versore,

$\forall{\underline{v}} \exists{ D_{\underline{v}}} f(x_0,y_0) = \nabla{f(x_0,y_0)}\cdot \underline{v}$

dimostrazione

Applicando la generica definizione di differenziabilità di

$f(x,y)$ in

$(x_0,y_0)$ ,

$f(x,y) = T(x,y) + o(\mid\mid(x-x_0, y-y_0)\mid\mid)$

$= f(x_0,y_0) + \nabla f(x_0,y_0) \cdot \begin{bmatrix} x-x_0 \\ y-y_0 \end{bmatrix} + o(\mid\mid(x-x_0, y-y_0)\mid\mid)$

$= f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\cdot (x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\cdot (y-y_0) + o(\mid\mid(x-x_0, y-y_0)\mid\mid)$

Con

$f(x_0+ta,y_0 + tb)$ in

$(x_0,y_0)$ , si ha che:

$f(x_0+ta,y_0 + tb) = f(x_0,y_0) + \nabla f(x_0,y_0) \cdot \begin{bmatrix} x_0+ta-x_0 \\ y_0+tb-y_0 \end{bmatrix} + o(\mid\mid(x_0+ta-x_0, y_0+tb-y_0)\mid\mid)$
si ha quindi che

$f(x_0+ta,y_0 + tb) - f(x_0,y_0) = \nabla f(x_0,y_0) \cdot t \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} + t\cdot o(\mid\mid(a,b)\mid\mid)$
dividendo ambo i membri per

$t$

$\frac {f(x_0+ta,y_0 + tb) - f(x_0,y_0)}{t} = \frac { \nabla f(x_0,y_0) \cdot t \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} }{t} + \frac{t\cdot o(\mid\mid(a,b)\mid\mid)}{t}$

$D_{\underline{v}} = \lim_{t\to 0} \frac {f(x_0+ta,y_0 + tb) - f(x_0,y_0)}{t} = \nabla f(x_0,y_0) \cdot \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \nabla f(x_0,y_0) \cdot \underline{v}$
Q.e.d