Teorema formula del gradiente
Dimostrazione del teorema formula del gradiente in R2.
di Andrea Carpi
<h3>Enunciato</h3><div><br>Se $ f: D \subseteq \mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}, (x_0, y_0) \in \mathring{D}$ ; sia $f$ differenziabile in $(x_0,y_0)$ e $ \underline{v}$ versore,
\[ \forall{\underline{v}} \exists{ D_{\underline{v}}} f(x_0,y_0) = \nabla{f(x_0,y_0)}\cdot \underline{v} \]
<br></div><h3>dimostrazione</h3><div><br>Applicando la generica definizione di differenziabilità di $f(x,y)$ in $(x_0,y_0)$,<br>\[ f(x,y) = T(x,y) + o(\mid\mid(x-x_0, y-y_0)\mid\mid) \]
\[ = f(x_0,y_0) + \nabla f(x_0,y_0) \cdot \begin{bmatrix} x-x_0 \\ y-y_0 \end{bmatrix} + o(\mid\mid(x-x_0, y-y_0)\mid\mid) \]
\[ = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\cdot (x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\cdot (y-y_0) + o(\mid\mid(x-x_0, y-y_0)\mid\mid) \] <br><br><span style="letter-spacing: normal;">Con $f(x_0+ta,y_0 + tb)$ in $(x_0,y_0)$, si ha che:</span><br><span style="letter-spacing: normal;">\[ f(x_0+ta,y_0 + tb) = f(x_0,y_0) + \nabla f(x_0,y_0) \cdot \begin{bmatrix} x_0+ta-x_0 \\ y_0+tb-y_0 \end{bmatrix} + o(\mid\mid(x_0+ta-x_0, y_0+tb-y_0)\mid\mid) \]
si ha quindi che
\[ f(x_0+ta,y_0 + tb) - f(x_0,y_0) = \nabla f(x_0,y_0) \cdot t \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} + t\cdot o(\mid\mid(a,b)\mid\mid) \]
dividendo ambo i membri per $t$
\[ \frac {f(x_0+ta,y_0 + tb) - f(x_0,y_0)}{t} = \frac { \nabla
f(x_0,y_0) \cdot t \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} }{t} + \frac{t\cdot o(\mid\mid(a,b)\mid\mid)}{t} \]
\[ D_{\underline{v}} = \lim_{t\to 0} \frac {f(x_0+ta,y_0 + tb) - f(x_0,y_0)}{t} = \nabla f(x_0,y_0) \cdot \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \nabla f(x_0,y_0) \cdot \underline{v} \]
Q.e.d
<br></span></div>
